Để giết thời gian, và để thể hiện cái năng động của mình, tôi làm nghề hớt tóc, nhưng mà nghề này ngồi một chỗ tay chân ngứa ngáy nên tôi đã bỏ nghề để đi khai khẩn đất hoang thể theo khẩu hiệu của đảng và nhà nước:Với sức người sỏi đá cũng thành cơm!!!
Mỗi sáng tôi đạp xe từ Huế về hướng Bắc khoảng chùng 12km, rồi rẽ về hướng Tây chừng 8km. Hai bên xe cồng kềnh hai bao cây sắn cắt ngắn cỡ chừng gang tay, một cây cuốc thường, một cây cuốc năm răng, cái liềm, cái thùng nhỏ múc nước.
Tôi chọn địa thế rồi đóng bốn cái cọc sơn đỏ “giành” đấ”, cỡ chừng hơn mẫu tây.
Trước hết tôi dùng liềm bức tràm chổi từ con lạch hướng lên đỉnh đồi thành một đường thật thẳng, đoạn dùng cuốc năm răng cuốc gốc tràm, gốc chổi sắp thành đống (hi vọng vài ngày sẽ khô và mang về Huế nhóm lửa ).
Xong một đoạn cỡ chừng 100 thước tôi đã là mệt nhoài, ngữa lưng trên đống lá tràm thở dốc, cái mùi tràm, thanh thoát, bầu trời xanh xanh cuối Xuân làm cho tôi thấy dễ chịu.
Tìm điếu thuốc Tam đảo cong queo tôi mồi lửa, nhìn cụm khói nho nhỏ đuổi bắt nhau trước khi tan biến giữa khung trời xanh rộng, tôi tự hỏi mình, đám khói nhỏ nhoi kia đã đi về đâu? Thân phận nhỏ nhoi của mình sẽ đi về đâu?
Chợt nghe môi mình ươm vị mặn, tôi vùng dậy thật gấp, cầm cuốc đánh vồng !
Những khúc sắn đầu tiên đã được ươm xuống, tưới cho chúng những cụm nước nhỏ trước khi ra về, đoạn đường hai chục cây số đang chờ tôi khi mặt trời đã qua bên kia dãy Trường Sơn.
Ngày này sang ngày khác, tôi làm việc liên tục, không mỏi mệt. Có những chiều cọc cạch trên Quốc lộ I, khi sức cùng lực tận sau một ngày làm việc, gió thổi ngược chiều, tôi nghiến răng còng mình cố đạp chiếc xe cũ kĩ vượt qua từng trụ cây số, từng trụ cây số. Tôi tính nhẩm khoảng đường còn lại, thời gian sẽ mất …tự nhiên những ngày cặm cụi làm toán lại trở về, những nghịch lí toán học lại hiển hiện, từ chứng minh đến lách lối, tự tạo nên khái niệm mới để giải thích thắc mắc cũ … Tôi tự tư bảo mình: “Đời không có gì khó, chỉ có lòng mình sợ khó mà thôi! “.
Không ngờ câu nói phát ra từ một buổi chiều lộng gió trên Quốc lộ I đã trở thành câu châm ngôn của tôi cũng như con cái tôi sau này…
Sắn tôi gieo xuống mỗi vồng cách nhau một hoặc hai ngày cho nên khi chúng lên cây, vồng thấp vồng cao, xuôi chiều khá đều đặn, nhìn đám sắn xanh tươi nô đùa trong gió, ôn lại công trình của mấy tháng vất vả, khoảng đồi xanh thắm tuy không bao la, bát ngát, nhưng cũng đủ để trải tầm lòng tôi giữa thiên nhiên tuyệt diệu, những giọt mồ hôi chen lẫn nước mắt đã tô xanh khoảng đồi kia đang bừng lên sức sống…tôi mĩm cười tự nhủ: “Đời không có gì khó…”
Khi tôi đang say sưa với thành quả tốt đẹp của mình thì tôi được gọi trở lại trường để tiếp tục nghiệp vụ giảng dạy. Tôi không muốn trở lại, nhưng nhà tôi đã khuyên tôi nên trở lại, làm thật tốt để tìm con đường mới. Nhà tôi nhỏ nhẹ: “Không lí anh muốn chôn vùi đời anh giữa những vồng sắn kia? “
Tôi trở lại Quốc Học không lâu thì chuyển về Sư Phạm và từ đó bỏ quê hương lại đằng sau với muôn vàn kỉ niệm!
“Đời không có gì khó” đã đeo đuổi tôi cho tôi nghị lực, hướng dẫn tôi vượt qua biết bao muôn vàn khó khăn trong cuộc sống mới. Có lắm lúc tôi tự hỏi mình: Phải chăng giòng sông toán học đã tắm gội tâm hồn tôi ở một sát na nào đó để cho tôi gột được những ưu phiền để lộ ra giữa hồn mình hàng chữ “Đời không có gì khó…” và lấy đó làm châm ngôn trong mọi tình huống của đời mình.
*
* *
Những ngày mới đến Canada, một trong những điều làm tôi chú ý là giá cả ở các chợ bán thực phẩm. Cái giá cả tôi muốn nói ở đây không phải là mắc hay rẻ mà là cách họ xếp giá: đó là 99c, $1.99, $2.99 v..v…
Thời bấy giờ (1979), Toán trong tôi vẫn còn rất mạnh mẽ, cho nên việc đầu tiên là tôi nghĩ về những khái niệm có tính Toán học. Ngoài cái mà gọi là “round up”, tôi không còn thể nghĩ gì hơn ngoài:
99c = $1.00; $1.99 = $2.00…
Lâu dần, tôi mới thấy được mặt tâm lí trong cách xếp đặt giá cả. Người mua trước hết là nhìn con số ở bên trái, dĩ nhiên 1< 2 có nghĩa là 1 trong $1.99 < 2 trong $2.00. Dẫu rằng $1.99 không rẻ hơn $2.00 là bao.
Thế nhưng, người bán lại nghĩ khác. Khi khách hàng mua một món hàng trị giá $1.99, họ đưa ra $2.00, cashier phải thối lại họ 1c, tuy nhiên trong thực tế khách mua rất ít người lấy lại 1c ấy. Cho nên cho cái giá $0.99 hay 99c là một cách áp dụng toán học về cả hai mặt thực tế cũng như tâm lí.
Từ dữ kiện xãy ra rất nhiều lần này, tôi mới nghĩ đến cái học ngày xưa: 1 = 0.9999…
Từ đó tôi tự suy luận ra rằng: Người bán đã áp dụng nghịch lí này.
Thử chứng minh lại đẳng thức này bằng đại số:
Cho:
x = 0.9999…
10x = 9.9999…
10x – x = 9
9x = 9
x = 1
Mặc dầu đây là một vấn đề không mấy nghiêm trọng trong cuộc sống hằng ngày, nhưng với những nhà Toán học thì họ không bao giờ bỏ qua.
Tôi không phải là một nhà Toán học, nhưng thời ấy, tôi cứ suy nghĩ mãi và cuối cùng, cách dùng liệt Cauchy trong bài học về sự cấu trúc của tập hợp R, tập hợp các số thực, đã làm cho tôi sáng tỏ về nghịch lí này.
Từ nghịch lí này, tôi nhớ lại ngày xưa còn đi học, tôi rất thích những bài toán có tính nghịch lí, tỉ dụ như bài toán chứng minh một góc vuông bằng một góc bù, hoặc 1 = 1 + 1 mà ở năm Đệ ngũ tôi đã thức hằng đêm để suy nghĩ, chứng minh, tìm cái sai, cái đúng.
Nhắc lại cách chứng minh 1 = 1 + 1
Cho : a = b
Vậy thì : a² = b² = ab.
Từ đó : a² – ab = a² – b²
Hay là : a (a – b) = (a + b) (a – b)
Ước lược (a – b) từ hai vế.
Ta có : a = a + b *
Cho : a = b = 1
Từ *, suy ra: 1 = 1 + 1
Dĩ nhiên điều này sai, tìm ra cái sai không khó, nhưng mà giải thích cho đúng nghĩa Toán học của cái sai thì không phải là chuyện ai cũng làm được.
Với tôi, tìm cái sai không phải là trọng tâm mà trọng tâm là bài toán này được đặt ra từ bao giờ? Ai là người đã đặt ra ?
Trong tập ĐS KMH xuất bản năm 1972, tôi có viết bài : “Những Nẻo Đường Toán Học”
Thời bấy giờ sách vở rất hiếm hoi, tôi chỉ đọc được một vài cuốn sách để làm cơ bản cho bài viết, trong đó có cuốn “Histoire de Mathematiques”, nhưng trong cuốn sách này không có viết về lịch sử của 1 = 1 + 1 !!!
Sau này, khi tôi đọc được cuốn sách viết về Nghịch lí Banach -Tarski, tự dưng cái thắc mắc về 1 = 1 + 1 chợt vỡ òa !
Nghịch lí Banach – Tarski: “Cho một trái banh đầy (không có khoảng trống bên trong), trong một không gian ba thứ nguyên thì có ít nhất một cách cắt xén trái banh ấy thành những phần nhỏ không chồng chéo lên nhau (tập hợp con phân li), rồi có thể sắp xếp lại một cách khác nhau thành hai trái banh y hệt như trái banh ban đầu”.
Thật rõ ràng là : 1 = 1 + 1
Ban đầu, người ta cho rằng đây là một nghịch lí vì chỉ dựa trên những kết quả có tính hình học, về sau, nghịch lí này được viết lại dưới dạng khác dựa trên lí thuyết tập hợp từ đó chúng ta tìm thấy nghịch lí này không những đã đứng vững mà còn liên quan đến nhiều nghịch lí khác và Công lí của sự chọn.
Tôi không muốn đi sâu vào nghịch lí này, điều tôi muốn nói là những suy nghĩ của tôi về sự liên hệ của nó trong cuộc sống hằng ngày.
Khi khảo sát quá trình thay đổi, chứng minh, liên hệ của nghịch lí Bannach-Tarski thì tôi đã nghĩ về ba phạm trù khác nhau Ấy là : Áp đặt – Sản xuất và Tịnh tiến.
– “Áp đặt”, tôi muốn nói đến là thể chế chính trị – thể chế cai quản
– “Sản xuất”, mà tôi muốn nói đến là dùng một mô hình nhất định để cấu tạo những cái mới có tính đồng nhất
– “Tịnh tiến”, tôi muốn nói đến là sự đồng nhất của một mô hình xã hội trong nhiều quốc gia khác nhau.
Sự đồng nhất của một mô hình xã hội trong mọi quốc gia ấy là: thành công, giàu có, trộm cắp, đĩ điếm, hối lộ, ngoại tình, đồng tính luyến ái…
Khi đề cập đến những điểm này thì có người cho rằng thế đứng của mỗi con người trong xã hội là do số phận đã được an bài. Có người lại đặt câu hỏi là nếu số phận đã được an bài thì do ai an bài ???
Theo sự suy nghĩ riêng tư của mình thì khi nói đến số phận tức là nói đến niềm tin, mà theo tôi nghĩ đã là niềm tin thì không thể áp đặt, cái đúng cái saì chỉ có ranh giới nhất định cho mỗi cá nhân mà không có tính đồng bộ. Cho nên bàn cãi về niềm tin luôn luôn đi vào ngõ cụt !
Từ ý niệm về niềm tin, tôi chợt nghĩ đến Zeno’s Paradoxes (tôi dùng chữ Paradoxes vì không chỉ có một, mà còn là A chilles and the tortoise, The dichotomy, The arrow).
Khi nói về nghịch lí “Mũi tên” thì ngày xưa tôi thường nói:
“Cái điểm giữa nghiệt ngã ấy đã tạo ra biết bao nhiêu nghịch cảnh của cuộc đời”.
Thời bấy giờ (tôi còn trẻ lắm) khi mọi người nghe tôi phát biểu như thế họ đều nghĩ rằng tôi nói tục vì họ không biết gì về The Arrow Paradox.
Trong Hình học Euclide có nói:
Giữa hai điểm trên một đường thẳng luôn luôn có một điểm. Từ đó giữa hai điểm luôn luôn có một điểm giữa!.
Một mũi tên bắn từ A sang B, mũi tên ấy không bao giờ đến B !
Lí luận rằng muốn đến B thì phải vượt qua điểm giữa M của A và B, rồi muốn vượt qua M thì phải vượt qua điểm giữa N của A và M…cứ như thế, nó không vượt qua được cái điểm giữa cuồi cùng…vì không có cái cuối cùng ấy!
Dĩ nhiên, nghịch lí này được làm sáng tỏ khi dùng khái niệm về Bản số, nhưng đó không phải là điều tôi muốn nói, mà cái muốn nói là trong hành trình của cuộc đời, ít nhất ta đã có một lần cố vượt qua cái điểm giữa nghiệt ngã nầy???
Tuổi trẻ lớn lên trong thời chinh chiến, trở thành một sĩ quan trong quân đội là mộng ước chung của hầu hết học sinh thời trung học. Cái đích của mũi tên đã được đặt ra. Mỗi người phải học hành để có Tú tài II rồi phải qua một kì thi tuyển chọn.
Trong kì thi tuyển chọn cuối cùng ấy, ở một sát na nào đó từ dấu ( – ) anh đánh lộn thành dấu ( + ). Anh không trúng tuyển và mộng làm sĩ quan đã tan tành…!
Hai người tự tình biệt li với nhau, hẹn ngày tàn binh đao sẽ nên chồng vợ. Đau buồn thay chàng đã phơi thây ngoài chiến địa…!
Ấy phải chăng chúng ta cho là số mệnh? Mũi tên đã không đến đích !!!.
Bất kì chúng ta gọi đó là gì thì mũi tên cũng đã không đến đích, lí do có thể là là tại ta, có thể là từ hoàn cảnh của xã hội, đất nước v..v…
Nhưng tại sao ngay cái sát na ấy, chúng ta mới vấp lầm lỗi? Ngay cái sát na ấy, đạn thù hạ ngã người mình yêu??? Điều này không có ai trả lời được!
Phải chăng từ đó chữ “số mệnh” mới ra đời?
Toán học bắt nguồn từ cuộc sống, trong quá trình xây dựng và lí giải Toán học, các Toán học gia đã khám phá ra rất nhiều bài toán có tính nghịch lí, hiện nay cũng đang có nhiều bài toán mà những nhà toán học hiện chưa có lời giải đáp.
Thế nhưng, Toán học tựa như một con nước nhỏ, đang chảy xuống đồi, gặp ghềnh đá chắn, con nước cố bươn chải sang một hướng khác để tiến lên, không ngừng nghỉ: trước một nghịch lí, toán học gia cố tìm kiếm, xây dựng khái niệm mới để giải thích, tỉ dụ như bài toán 1 = 0.999… thì phải dùng liệt Cauchy. Có ngịch lí này thì dùng Công lí của sự chọn (Aaxiom du Choix), nghịch lí kia thì dùng khái niệm về Bản số (Cardinaux)…
Cuộc đời cũng thế, không bao giờ bằng phẳng, trên hướng tiến của mỗi con người đều có những vật cản, có lắm lúc phải dùng cương đạp đổ vật cản để tiến lên, có lắm lúc phải dùng nhu, tìm hướng mới để đạt được mục tiêu của mình. Nói chung là dùng ngọn đuốc của những nhà toán học để định hướng trong quá trình cố vượt qua khó khăn…Được như thế thì “Đời thật không có gì khó ! “. Có chăng là chỉ lòng mình sợ khó mà thôi vậy.
Toronto, Autum 2012
Lê Bá Tròn
Số lần đọc: 2633