Bài toán hình học và những kí hiệu có tính hình thức

Cách đây không lâu, tôi có đọc được hai câu hỏi về Toán từ một độc giả của Cuongde.org gởi cho một giáo sư dạy Toán. 

Câu 1: Chứng minh định lí đảo của định lí sau đây: “Trong một tam giác cân hai đường phân giác phát xuất từ hai góc đáy thì bằng nhau “

Câu 2: Chứng minh 1+1=m , m là một thông số.

Vốn là một người đã dạy Toán nên hơi nhột một chút, nhưng đã nghĩ lại rằng mình đã không còn cơ hội tiếp xúc với Toán từ lâu thôi thì đành lơ đi cho xong. Vừa qua, nhân đi dự sinh nhật, gặp lại một cựu học sinh CĐ, chúng tôi có bàn qua một tí về Cuongde.org và anh ta muốn tôi viết ra suy nghĩ của mình về hai câu hỏi trên. Thôi thì cũng ráng gồng mình…Mong rằng nếu có gì không phải xin mọi người bỏ qua cho.

Xin cảm ơn trước.
Lê Bá Tròn


Tôi đến nhận việc ở trường Cường Để vào một buổi chiều nắng rất đẹp, tháng 10, năm 1967. Buổi sáng, tôi rời Huế trong âm u của mùa Thu thì chiều nay cái nắng đẹp của Qui Nhơn đã cho tôi một chút suy nghĩ về sự đổi đời: Từ một anh chàng sinh viên trở thành một nhà giáo !

Thầy hiệu trưởng Trương Ân đã tiếp nhận tôi rất niềm nở, khi ngồi đây viết những dòng chữ này, tôi vẫn tựa hồ như thấy Thầy đang cười, một nụ cười rất khoan dung và thân thiện.

Tuy thế, Thầy rất ngạc nhiên khi tôi muốn xin Thầy cho tôi được giảng dạy các lớp đệ Thất và đệ Tam. Thầy hỏi lí do, tôi ngắn gọn nói với Thầy là tôi muốn thí nghiệm giảng dạy môn hình học phẳng theo một đường lối khác; theo lối suy nghĩ riêng của mình.

Tôi bắt đầu giảng dạy lớp đệ Tam B (?) thay thầy Minh. Thầy Minh rất mẫu mực, thường mang theo compass để vẽ vòng tròn, tôi thì ngược lại chỉ vẽ bằng tay, nhưng may mắn có một vài lần học sinh khen: “Thầy vẽ như tên !”.

Tôi còn nhớ bài đầu tiên tôi giảng dạy có dính dáng đến góc nội tiếp. Sau mấy tuần dạy xong về góc nội tiếp và những vấn đề liên hệ, tôi có cho một bài tập (không có trong sách) để thử nghiệm sự suy nghĩ của lớp học và hiệu quả về phương pháp giảng dạy của mình. Kết quả là không có ai làm được !

Bài toán như sau:

“Cho một đường tròn và một dây AB (không qua tâm). Gọi I là trung điểm của AB. Qua I vẽ hai dây bất kì MN và PQ. Sao cho MQ và PN cắt đoạn AB ở H và K như hình vẽ bên.
Chứng minh IH=IK.” ¹

Chúng ta, những con người đã trải qua một thời vật lộn với Hình học Euclide và cuộc đời, chắc ai cũng có thể hiểu rằng môn hình học này đã phát xuất từ cuộc sống hằng ngày, từ đó cấu trúc nên ba thực thể toán học ấy là: điểm, đường thẳng và mặt phẳng, dùng Công lí luận pháp ² để xây dựng nên.

Ngoài công việc giúp chúng ta xoay xở, đáp ứng đời sống hằng ngày, Hình học Euclide còn giúp ta phát triển năng khiếu suy đoán những con đường khác biệt để đi đến một kết quả.

Ví dụ như bài toán đã viết ra trên đây và bài toán mà một độc giả của Cuongde.org đã hỏi một vị giáo sư Toán thì phương pháp giải rất đồng điệu. Cả hai đều phải vẽ thêm một đường thẳng song song, một bài thì dùng kiến thức về hình tam giác và hình bình hành, còn một bài thì dùng kiến thức về góc nội tiếp v.v… 

Mấu chốt ở đây là người làm toán có nghĩ đến việc vẽ thêm một đường thẳng song song hay không, vẽ từ đâu và cấu trúc tiếp theo như thế nào ?

Là một người học Toán và dạy Toán, tôi không bao giờ nghĩ rằng độc giả kia đã muốn thử sức Toán của thầy như tôi đã từng muốn thử sức làm toán của học trò, mà bên trong còn có một ẩn ý nào đó. 

Tôi nghĩ rằng điểm mấu chốt là Hình học Euclide đã xây dựng trên một cái không: không có điểm, không có đường thẳng, không có mặt phẳng thật sự. Có chăng là chúng ta chấp nhận những hình tượng ấy để đi đến những kết luận hữu ích có thật.

Như thế có người đã không chấp nhận những gì Euclide đã đưa ra, muốn đi ngược lại hoặc trật đường rầy qua một ngõ khác…Có phải chăng vì lẽ ấy mà có Hình học Lobachevski và Hình học Riemann ?

Ấy là điều mà tôi đã suy nghĩ về câu hỏi đầu tiên của độc giả kia.

Một lí do tôi muốn bắt đầu giảng dạy lớp đệ Thất là vì tôi muốn đưa Luận lí toán học ³ vào chương trình trung học càng sớm càng tốt.

Những ngày còn ở Tiểu học, tôi là một học sinh học khá, nhưng khi vào đệ Thất, tôi thật sự chới với vì môn Hình học phẳng, mãi cho đến giữa năm đệ Lục, tôi mới thật sự ngộ ra phương cách để đáp ứng môn này.

Trong những ngày còn ở Trung học cũng như Đại học, tôi đã dạy kèm, dạy luyện thi v.v…Do đó chương trình từ lớp 1 đến lớp 12 tôi nắm rất vững, tôi thấy được cái gọi là không hoàn bị trong chương trình Toán của chúng ta thời bấy giờ. Tôi muốn tìm một phương cách nào đó để sự giảng dạy của mình sẽ không đưa đến sự vấp ngã của học sinh như bản  thân mình đã vấp ngã ngày nọ. Luận lí toán học theo tôi lúc bấy giờ có thể là một đáp số.

Có lẽ Bộ Giáo dục ngày đó cũng đã có thấy một cái gì không “bằng phẳng” trong chương trình Toán, cho nên vào giữa niên khóa 69-70, Bộ đã cho giảng dạy môn Luận lí toán học, trên tinh thần tự nguyện của thầy và trò sau giờ học. Và tôi là người đứng ra đảm nhận công việc giảng dạy này ở Cường Để.

Sau này, khi về giảng dạy ở Trường Kiễu Mẫu Huế cũng như ở ĐHSP, tôi luôn luôn quan tâm đến việc sắp xếp chương trình Trung Học được liên tục và có hệ thống để học sinh khỏi ngỡ ngàng khi tiếp xúc với cái mới, sự liên hệ giữa toán mới với chương trình trung học. Cái cần sửa đổi, cái cần duy trì v.v…

Ví dụ như khi đọc định nghĩa về “Phương” trong sách giáo khoa, tôi muốn được viết lại cái định nghĩa đó như sau: “Quan hệ song song giữa những đường thẳng trong không gian là một quan hệ tương đương, mỗi một lớp tương đương gọi là Phương”.

Ý đồ đưa mô hình toán mới vào chương trình trung học không thành !!! Nhưng mà sự suy nghĩ của tôi trong cuộc đời thường dựa vào nó.

Có lẽ vì vậy mà khi đọc câu hỏi: “Chứng minh 1 + 1 = m” thì tôi bật cười.

Thật tình, ban đầu tôi nghĩ là người độc giả này muốn mị vị giáo sư Toán kia trong phương cách chứng minh 1 + 1 = 1, nhưng nghĩ lại thì thấy sự suy nghĩ của mình chưa chuẩn mực cho lắm bởi vì khi mình đã đi qua khỏi trung học thì ai cũng đã có lần nghe qua việc chứng minh 1 + 1= 1, góc vuông bằng góc tù v.v… Cái lòe của dân toán ở đây không khác gì cái lòe của những nhà hát xiệc, vuốt giấy ra tiền. Có khác chăng là một đằng thì lanh tay một đằng thì lanh trí !

Sự kiện người độc giả này và vị giáo sư Toán kia đang bàn luận về dấu hỏi, dấu ngã, cho nên sự suy nghĩ của tôi nghiêng về sự liên tưởng, từ đó tôi nghĩ rằng trong biểu thức 1 + 1 = m thì hai số 1 trước và sau không giống nhau, dấu + cũng không phải là dấu + mà chúng ta thường dùng, phải chăng đây chỉ là một loạt kí hiệu có tính hình thức?

Trở lại với Luận lí toán học, cái bắt đầu là Lí thuyết tập hợp, Đại số Boole v.v…, nhưng một tập hợp tự nguyên thủy thì nó không là gì cả, có chăng chỉ là một mớ của nhiều thứ có chung một số tính chất giống nhau nhất định nào đó. Cái làm cho tập hợp ấy “hoàn bị” hơn một chút là sự liên hệ giữa các phần tử trong tập hợp ấy. Cái liên hệ ấy có thể cấu trúc bằng một vài qui ước, có thể cấu trúc bằng một vài qui luật nào đó mà mọi phần tử trong tập hợp ấy cùng hoạt động theo qui ước hoặc qui luật đã được đặt ra. Nói theo nghĩa toán học thì một tập hợp hoàn bị thêm một tí khi mình cấu trúc được một hay nhiều phép toán trên tập hợp ấy. Từ đó tôi nghĩ rằng trong biểu thức 1 + 1 = m, vị độc giả  kia muốn nói về qui ước của một phép toán. Nhưng phép toán nào đây ???

Quan sát về thời điểm cũng như câu chuyện dẫn đến hai câu hỏi này tôi nghĩ rằng “Phép toán” mà vị độc giả kia muốn nói đến là Phép toán “ngôn ngữ”.

Trong tập hợp những thuộc tính của con người thì ngôn ngữ là một phép toán trên tập hợp ấy. Ngôn ngữ nói chung thường bắt đầu bằng những qui ước, dần dà đặt thêm nhiều qui tắc để hoàn bị dần, hệ thống hóa dần ngôn ngữ ấy.

Nếu những điều tôi suy đoán là đúng thì cả hai câu hỏi đều muốn nhấn mạnh đến một điều:

“Những điều có tính qui ước thì không thể áp dụng như một qui luật”

Xa hơn nữa: Trong cuộc sống hằng ngày, nếu chỉ nằm rạp dưới một đống qui luật thì chỉ là một nô lệ không hơn không kém. Vượt ra ngoài một số qui luật, có khi mang đến những kết quả rất hữu ích cho dù phải trải qua những giai đoạn cực kì gian lao.

Vài dòng suy nghĩ già nua. Hi vọng rằng nói lên được một phần nào những suy nghĩ của độc giả đặt ra 2 câu hỏi về Toán và để hi vọng giúp được một hướng suy nghĩ cho những ai muốn giải đáp hai câu hỏi này.

Lê Bá Tròn

¹ Đây là Bài toán / Định lí nổi tiếng, ra đời cách nay hơn 200 năm, có cái tên thật romantic: Bài toán (Định lí) Con Bướm. Hiện nay có chừng hơn 20 cách giải khác nhau từ nhẹ kí tới nặng đô, bạn đọc nào thấy khó khăn khi giải nó xin tham khảo tại đây: 1.Tiếng Việt; 2.Wiki tiếng Việt; 3.Tiếng Anh hình vẽ đẹp (nhớ đăng nhập); 3.Animation.
² Axiomatic Method: Phương pháp tiên đề.
³ Logic Toán.
^* Trong bài có một số thuật ngữ, khái niệm về Toán. Để tiện theo dõi,
mời bạn đọc tạm tham khảo các giải thích tối thiểu ở đây (cũng có nhiều ở Wiki):
Từ điển Bách khoa Toàn thư VN: Mục Toán học
(BBT chú thích & vẽ hình) 

   Số lần đọc: 12356